в правильной четырехугольной пирамиде МАВСД боковое ребро равно 5 и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. Наити площадь боковой поверхности пирамиды.

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат ABCD, и высота, опущенная из точки M, будет падать в точку пересечения диагоналей квадрата в основании. Точку пересечения диагоналей обозначим H. 

В прямоугольном треугольнике MHA:

<MAH = 60° (т.к. AH - проекция AM)

AM = 5

cos<MAH = AH/AM

cos60° = AH/5

AH = 5/2 = 2,5

AH - половина диагонали AC

AC = 2AH = 5

Из прямоугольного треугольника ACD (AD = DC = x, так как ABCD - квадрат), по теореме Пифагора:

AD² + DC² = AC²

x² + x² = 25

2x² = 25

x = 5/√2 = (5√2)/2

AD = DC = (5√2)/2

Sбок будет равно Pосн умноженное на апофему. 

Проведем апофему MH1 в треугольнике MDC. 

Т.к. пирамида правильная, треугольник MDC - равнобедренный, а значит высота MH1 так же является и медианой => DH1 = DC/2 = (5√2)/4

Из прямоугольного треугольника MHD по теореме Пифагора:

MH1² = MD² - DH1²

MH1² = 25 - 25/16

MH1² = 15*25/16

MH1 = (5√15)/4

Sбок = Pосн*MH1

Pосн = 4*AD = 10√2

Sбок = (10√2)*(5√15)/4 = (25√30)/2 = 12,5√30

Ответ: 12,5√30