Докажите, что треугольник равнобедренный, если биссектрисы углов при основании равны.

Т.к. биссектрисы углов равны, углы получаются равны, а если углы при основании равны, то (по определению) треугольник равнобедренный. ч.т.д.

Это очень сложная задача, у неё есть геометрическое решение, но очень нудное. 

Алгебраическое решение такое - если стороны a b c, и биссектрисы la и lb выходят из концов с (то есть это биссектрисы углов А и В), то 

la = b*c - a^2*b*c/(b  + c)^2; (*******)

lb = a*c - a*b^2*c/(a  + c)^2;

Приравниваем, получаем

a*c - a*b^2*c/(a  + c)^2 = b*c - a^2*b*c/(b  + c)^2;

a - b = a*b*(b/(a + c)^2 - a/(b + c)^2);

Предположим, что a > b;

Тогда левая часть равенства положительна, а правая отрицательна, и получается противоречие. Поэтому a = b;

Предполагается, что вы умеете вычислять длину биссектрисы по сторонам треугольника, то есть знаете формулу (*******).