В равнобедренной трапеции MNKP диагональ MK является биссектрисой угла при нижнем основании MP. Меньшее основание NK равно 8 см. Найдите площадь трапеции, если один из углов в два раза меньше другого. В каком отношении высота KE делит основание MP.

условие насчет "один из углов в два раза меньше другого" делает задачу элементарной. В самом деле, углы при основании равнобедренной трапеции равны, поэтому речь идет о внутренних односторонних углах при боковой стороне, сумма которых 180 градусов, поэтому угол при большем основании 60 градусов, а при меньшем - 120, конечно.

Но это означает, что трапеция является усеченным правильным треугольником. Поскольку диагональ трапеции является биссектрисой угла при основании, то попадает в середину стороны этого правильного треугольника. То есть верхнее основание - это средняя линяя правильного треугольника, до которого достраивается трапеция при продолжении боковых сторон. Отсюда большее основание равно удвоенному меньшему, то есть 16. 

Площадь можно сосчитать по разному, например, как 3/4 площади правильного треугольника со стороной 16. 

Однако можно и так - соединим середину большого основания с вершинами малого. Легко видеть, что трапеция разрезана на 3 равносторонних треугольника со стороной 8. Площадь каждого из них 8^2*корень(3)/4 = 16*корень(3), а площадь трапеции 48*корень(3).

Теперь заодно видно, что высота КЕ делит большое основание в отношении 3/1.