В треугольнике ABC AB=a см, BC=a корень из 3 см,
AC=2a см. Докажите, что прямая BC является касательной к окружности с
центром в точке A и радиусом AB

Данный треугольник - прямоугольный с прямым углом B (обратная теорема Пифагора: 4a^2 = 3a^2 +a^2), а раз прямая BC перпендикулярна радиусу AB и проходит через его конец, лежащий на окружности, то эта прямая - есть касательная к этой окружности, ч.т.д.