В треугольнике Abc с прямым глом C вписана окружность с центром O, касающаяся сторон треугольника ab, bc, ac в точках m, t, p сооствественно. Расстояние от точки пересечения биссетрис треугольника abc до вершины C равно корень из 8см. Найдите радиус окружности, угол top и угол tmp.

Радиус окружности РО-?.

Т.к. углы РСТ=СТО=СРО=90 град, а РО=ТО - СТОР - квадрат.

По т.Пифагора

РО^2+РО^2=СО^2 (СО=sqrt8)

2РО^2=8

РО=2.

Радиус окружности 2см.

Угол ТОР = 90 град.

 

Угол ТМР - ?

Рассмотрим треугольник РТМ.

Известно, что угол ТРО=РТО=45 град. (Голубого цвета).

Углы ОPL=OML (из равенства труегольников ОРL и OML: PO=OM=радиус, OL - общая, OL перпендикулярна к PM). (Красного цвета). Обозначим a

Углы OTN=NMO аналогично. (Зеленого цвета). Обозначим b.

Сумма углов треугольника 180 град.

180=45*2+2*a+2*b

(180-90)/2=a+b

Угол ТРМ=a+b=45 град.

 

Этот комментарий - часть решения. Дополнение: теорема Пифагора применяется в треугольнике СОР. А угол РМТ можно было найти как половину угла РОТ, так как РМТ вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный угол РОТ.