через точку к А плоскости альфа проведены наклонные АВ, АС и перпендикуляр АО. АВ=2а. углы между прямыми АВ, АС и плоскостью альфа равны 30 и 45 градусов соответственно. найдите длины перпендикуляра АО наклонной АС и её проекции

По условию перпендикуляр АО, наклонные АВ и АС и их проекции ОВ иОС  образуют прямоугольные треугольники АОВ и ВОС (угол О- прямой). Поскольку угол ОСА=45⁰, то треугольник АОС - прямоугольный равнобедренный, следовательно перпендикуляр АО равен ее проекции АО.

В треугольнике АОВ угол АВО=30⁰. В прямоугольном треугольнике катет, что лежит против угла 30⁰ в 2 раза меньше гипотенузы, имеем АО=2а/2=а, также АО=ОС=а.

Из треугольника АОС: АС= а/sin45⁰=а√2.

Ответ: АО=а, ОС=а, АС=а√2