Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с углом в 60 градусов. Найдите острый угол между большей диагональю нижнего основания и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани , если отношение высоты призмы к стороне ее основания равно корню из 2.

Призма АВСЕА1В1С1Е1,

АВ=ВС=СЕ=ЕА=А1В1=В1С1=С1Е1=1(без ограничения общности примем сторону основания за единицу измерения длины).

Тогда АА1=ВВ1=СС1=ЕЕ1=√2;

Угол ВАЕ = 60 градусов.

Нужно найти угол между АС и ЕС1.

Поскольку АВ1 II ЕС1, то ищем угол между АВ1 и АС. Треугольник АСВ1 - заведомо равнобедренный, АВ1=СВ1=√((√2)^2 + 1^2) = √3;

Найдем АС. Ромб в основании "сложен" из двух правильных треугольников со стороной 1, и большая диагональ АС равна 

АС = 2*1*sin(60) = 2*√3/2 = √3;

Таким образом, АСВ1 - равносторонний треугольник, и все углы в нем равны 60 градусов. Это ответ.