В тетраэдре DABC M-точка пересечения медиан грани BCD,а точка Е-середина ребра АС. Разложите вектор ЕМ по векторам АС,АВ и АD

Решение: EС=1\2*AС (так как Е – середина отрезка AС, а векторы EС и AС одинаково направлены)

Вектор медианы СL треугольника DBC равен вектор СB +вектор BL= вектор CD+ вектор DL

2*вектор CL=вектор CB+вектор CD+вектор DL+вектор BL= вектор CD+вектор CB (так как L – середина отрезка BD, а векторы BL и DL – противоположно направлены)

Вектор CL=1\2*(вектор CB+вектор CD) .

Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому

Вектор CM=2\3*вектор CL

Вектор CB=вектор CA+вектор AB=-вектор AC+вектор AB

Вектор CD=вектор CA+вектор AD=-вектор AC+вектор AD

Вектор EM=вектор EС+вектор СM=1\2*вектор AC+2\3 *вектор CL=1\2*вектор AC+2\3*1\2*(вектор CB+ вектор CD)= 1\2*вектор AC+1\3*(вектор CB+ вектор CD)=1\2*вектор AC+1\3*(-вектор AC+вектор AB-вектор AC+вектор AD)=

=-1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD

Ответ: -1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD