окружность радиуса 1 см, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его средней линии. найти площадь треугольника.

Расстояние между параллельными прямыми равно диаметру окружности, которая их обеих касается. Поэтому расстояние от основания до средней линии равно 2, а высота треугольника, соответственно, равна H = 4. 

Если из центра вписаной окружности опустить перпендикуляр на боковую сторону, то получится прямоугольный треугольник с катетом r = 1 и гипотенузой H - r = 4 - 1 = 3 (ясно, что центр лежит на высоте к основанию на расстоянии r = 1 от основания). Таким образом, если обозначить Ф угол при основании треугольника, то 

cos(Ф) = 1/3. (угол между боковой стороной и высотой к основанию равен 90 - Ф)

Легко найти sin(Ф) = корень(1 - 1/9) = 2*корень(2)/3, 

сtg(Ф) = 1/(2*корень(2)) = корень(2)/4; 

Половина основания равна b/2 = H*ctg(Ф) = корень(2); 

Площадь треугольника H*b/2 = 4*корень(2);