Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM 10 см и BM 18 см.
Касательная к окружности описанной около треугольника проходящая через точку C пересекается с продолжением AB в точке D. найти CD ?  

 СD - отрезок касательной. Продолжение АВ = АD - секущая.Рассмотрим рисунок, данный во вложении.На секущей АД расположение обозначений идет в порядке:А-Е-В-D, А и В - на окружности.  СЕ- биссектриса, АЕ=18, ВЕ=10Угол, образованный касательной ДС к окружности и секущей ВС, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.Следовательно, угол DАС=углу ВСD.В треугольниках АDС и ВDС по два равных угла:угол D - общий, угол ВСD =углу DАС, следовательно, они подобны. В подобных треугольниках соответственные стороны лежат против равных углов.Найдем отношение сторон в треугольниках.Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.Следовательно, АС:ВС=18:10Из подобия треугольников ВDС и СDА DС:ВD=18/10DС=18*ВD/10Пусть ВD - внешняя часть секущей АD - равна хТогда DС=18х/10и АD=АЕ+ВЕ+х=28+хКвадрат длины  отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.  DС²=ВД*АD(18х/10)²=х(28+х)324х²:100=28х+х²Домножив обе части уравнения на 100, получим:324х²=2800х+100х²224х²=2800х х=2800х:224хх=12,5 смDС=12,5*(18/10)=22,5 см --------------bzs@