докажите, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника

Рассмотрим Δ  АВС - E - любая точка на стороне ВС.

Докажем что расстояние от вершины А до точки E, т.е. длина отрезка АE меньше половины периметра треугольника, т.е. (АВ+ВС+АС)/2=p

Тогда из неравенства треугольника

АE<AB+BE; AE<AC+CE.

Сложим    2AE<AB+BE+AC+CE

2AE<AB+BC+AC => AE<(AB+BC+CA)/2, а AB+BC+CA)/2=p

AE<p, т.е.p- полупериметр,  таким образом  AE<p, действительно меньше полупериметра Δ  АВС.