На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону

Меньшая окружность проходит через 3 вершины, одна из который - острый угол, а две - вершины тупых углов. Острый угол является вписанным в эту окружность. И, наоборот, большая окружность проходит через вершину острого угола, потом- тупого, и - опять острого. В большую окружность вписан тупой угол.  

r = 3; R = 4;  a = ?

Обозначим за Ф половину тупого угла ромба. В треугольнике, вписанном в малую окружность, это будет острый угол, противолежащий стороне а;

Тогда по теореме синусов

a = 2*r*sin(Ф); sin(Ф) = a/(2*r);

Для тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в большую окружность, угол при основании (противолежащий стороне а) равен (180 - 2*Ф)/2 = 90 - Ф;

Поэтому по той же теореме синусов

a = 2*R*sin(90 - Ф) = 2*R*cos(Ф); cos(Ф) = a/(2*R);

Осталось возвести это в квадрат и сложить

1 = a^2/(2*r)^2 + a^2/(2*R)^2; (2/a)^2 = 1/r^2 + 1/R^2;

Подставляем r = 3; R = 4; получаем а = 24/5

Сторону ромба обозначим за a, угол BAC = α

используем теорему синусов для треугольника ABC

a/SInα = 2R1 (R1 = 3, R2 = 4)

a/Sinα = 6, SInα = a/6

Также для треугольника ABD

a/Sin(90 - α) = 2R2

a/Cosα = 8, Cosα = a/8

a = 8*6/10 = 4,8