в прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки 4 см и 5 см. определить площадь треугольника.

4/5 = cos(Ф), Ф - острый угол, в котором проведена биссектриса.... ладно, есть способы проще и изящнее.

Отношение катета к гипотенузе 4:5, поэтому треугольник подобен "египетскому" (3,4,5) и сторона, соответствующая 3, равна 9. Поэтому это треугольник (9,12,15), и его площадь 9*12/2 = 54;