В субботу экзамен! помогите с задачей, пожалуйста! Основание пирамиды - ромб со стороной 16 см и острым углом 60 градусов. Двугранные углы при основании пирамиды также равны 60 градусам. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Тут можно много рассказать - если грани равнонаклонены, то в основание пирамиды можно вписать окружность (основание при этом - любой выпуклый многоугольник, тут все дело в том, что высота пирамиды "видна" из основания апофемы любой грани под одинаковым углом. Поэтому равны все апофемы и все их проекции, то есть в основании есть точка, равноудаленная от всех сторон. "Видна" означает, что все прямоугольные треугольники, составленные из высоты пирамиды, любой апофемы и её проекции на основание, имеют одинаковый острый угол, противолежащий общему катету, которым и является высота пирамиды. Поэтому эти треугольники все равны между собой).

Поэтому шаблонное решение этой задачи - вычислить радиус вписанной окружности в ромб, а апофема будет в 2 раза больше (потому что угол между ними 60 градусов), то есть равна диаметру вписанной окружности. При этом очевидно, что диаметр окружности - это высота ромба (когда окружность касается 2 параллельных прямых, её диаметр равен расстоянию между прямыми). То есть сторона, умноженная на sin(60). Итак, апофема равна 8*корень(3), радиус вписанной окружности 4*корень(3). Периметр ромба 64, поэтому площадь основания 64*4*корень(3)/2, а площадь боковой поверхности 64*8*корень(3)/2, и складываем. Получаем 384*корень(3).

Замечу, что технически задача решается на много проще, если вы хорошо ориентируетесь в материале. Дело в том, что основание можно рассматривать как "сумму ортогональных проекций граней", а поскольку грани равнонаклонены, Sboc*cos(Ф) = Sosn. cos(Ф) = 1/2, то есть площадь боковой поверхности в 2 раза больше площади основания. А площадь основания считается как 16^2*sin(А), А - острый угол ромба. Полная площадь 3*16^2*корень(3)/2 = 384*корень(3)