Стороны треугольника равны 25 см, 39 см, и 56 см. Точка М удалена от каждой стороны этого треугольника на 25 см. Вычислить расстояние от точки М до плоскости треугольника

Опять Пифагоровы тройки, придется решать :))) 

Треугольник со сторонами (25, 39, 56) составлен из двух Пифагоровых треугольников со сторонами (15, 20, 25) и (15, 36, 39), приставленных друг к другу катетами 15 так, что другие катеты - 20 и 36 вместе образуют сторону 56.

Поэтому высота трегуольника равна 15, площадь 15*56/2 = 420, периметр 25 + 39 + 56 = 120; радиус вписанной окружности 2*420/120 = 7;

Уже "запахло" Пифагоровой тройкой (7,24,25) :)) 

Точка М проектируется в центр вписанной окружности (проекция М также должна быть равноудалена от сторон), поэтому расстояние от М до стороны (любой), радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания к этой же стороне и расстояние от М до плоскости образуют прямоугольный треугольник с катетом 7 и гипотенузой 25. Поэтому расстояние от М до плоскости равно 24.