в квадрате АВСД точка К середина стороны ВС, точка М середина стороны АВ. докажите что прямые АК и МД взаимно перпендикулярны

1. Через точку М проведем прямую, перпендикулярную MD до пересечения с ВС (точка Е). Тогда угол ЕМВ равен углу MDA, поскольку стороны у них перпендикулярны. Но угол MDA равен углу ВАК, поскольку треугольники АКВ и AMD равны (по 2 сторонам и углу - прямому - между ними). Поэтому угол ВМЕ равен углу ВАК. Поэтому МЕ II АК. Поэтому АК тоже перпендикулярна MD. чтд

2. Еще эту задачу можно решить с помощью векторов.

Если вектор АВ = j; вектор AD = i; (сразу напомню, что скалярное произведение i*j=0) то вектор АК = i/2 + j; вектор MD = i - j/2;

скалярное произведение АК*МD = (i/2 + j)*(i - j/2) = 1/2 - 1/2 = 0, поэтому эти вектора перпендикулярны.

Рассмотрите треугольник АМЕ. В нем острые углы совпадают с острыми углами равных треугольников АВК и АМД. Поэтому сумма острых углов треугольника АМЕ равна 90 градусов. Отсюда оставшийся угол МЕА=90  градусов. 

Прямые АК и МД взаимно перпендикулярны, раз один из углов, образовавшихся при их пересечении - прямой.