Найти объем пирамиды, если апофема правильной треугольной пирамиды равна 6, а двугранный угол при основании равен 30 градусам

Объем пирамиды V = SH/3.  высоту найдем из треугольника полученного в вертикальном сечении, против угла 30 градусов лежит линия равная половине гипотенузы Н=6/2=3. Проекция апофемы на плоскость основания даст нам радиус вписанной окружности r = 6*cos30 = 6√3/2 = 3√3

r = а√3/6. Отсюда сторона основания a = r/√3/6 = 3√3/√3/6 = 18

Площадь правильного треугольника S = a²√3/4 = 18²√3/4 = 81√3

Объем пирамиды V = 3*81√3/3 = 81√3