Доказать что медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1

Самое простое и красивое доказательство, как ни странно, физическое, исользующее понятие центра тяжести. Вот оно - поместим в каждую вершину треугольника по одинаковой массе m.

Всё!

 Потому что сразу понятно, что центр тяжести каждой стороны будет на её середине. А значит треугольник можно заменить медианой(отрезком), на одной вершине которого масса m, а на другой m+m = 2*m(сумма масс на концах стороны треугольника, к которому проведена медиана) Центр тяжести этого отрезка будет делить его в отношении 1:2, считая от вершины(конца, где масса m), это закон рычага или момента сил. Так как это рассуждение можно применить к любой медиане, значит любая медиана делится в отношении 1:2, а центр тяжести у любого тела(и у нашего треугольника в том числе) ОДИН, поэтому центры тяжести медиан совпадают, то есть они пересекаются в одной точке. Вот и всё. Мы всё доказали.

Этот метод часто позволяет решать и более сложные задачи, просто нужно придумать, какие массы и куда разместить, а дальше всё просто.

И ещё. Это ещё раз показывает, что нет ОТДЕЛЬНО физики, математики, химии и пр., Природой управляют единые законы, а разные науки рассматривают явления просто с разных сторон. Старайтесь всюду увидеть это единство и будет всё гораздо проще решать и понимать.