Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапецииАВСД пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и Д при боковой сторонеСД пересекаются в точке  G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны- 13 и 15.

FG - отрезок средней линии, так как точки пересечения биссектрис F и G - центры окружностей которые касаются одной боковой стороны и двух оснований, то есть они равноудалены от оснований. Через F и G проводим высоты (=диаметры, соединяющие точки касания окружностей с противоположными основаниями). Точки касания обозначим М (ближняя к А), К (МК перпендикулярно AD), L, N. Ясно, что MKLN - прямоугольник, и KL = NM = FG = x. Обозначим так же точки касания окружностей с боковыми сторонми P (на АВ) и Q (на CD). Для простоты записи обозначим АМ = АР = y; BP = BN = z; CL = CQ = u; DL = DN = v; получаем

y + z = 13;

u + v = 15;

(y + u + x) + (z + v + x) = 2*21;

2*x = 2*21 - (13 + 15) = 14;

x = 7;

Вот теперь - как эту задачу можно решить моментально :))

Зададим вопрос - "на сколько надо сдвинуть центры обеих окружностей, чтобы они совпали?". После этой варварской операции получается описанная трапеция с боковыми сторонами 13 и 15 и основаниями a и b, причем,

a + b = 13 + 15; и

(a + b)/2 = 21 - x;  

откуда x = 7;

Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке F, которая находится на средней линии трапеции. Треугольник, отсекаемый биссектисой угла А является равнобедренным с основанием 15, его средняя линия совпадающая со средней линией трапеции равна 15/2 = 7,5. 

Аналогично тр-к отсекаемый биссектрисой угла D имеет среднюю линию 13/2 = 6,5

Отрезок FG определится как разность между средней линией трапеции и средними линиями тр-ков   FG = 21 - 7,5 - 6,5 = 7