Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой. Поэтому, если провести окружность через концы одной из боковых сторон и середину основания, то в этой окружности прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой-медианой и половиной основания, является вписанным, и, следовательно, боковая сторона, лежащая напротив вписанного прямого угла, будет диаметром. 

Таким образом, оркужность, построенная на боковой стороне, как на диаметре, и окружность, проходящая через концы боковой стороны и середину основания - это одно и то же :))

Собственно, всё доказано.

Рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник ABС с основанием BC, на боковой стороне которого как на диаметре построена окружность O(O;A).  Допустим, что основание этого треугольника пересекает окружность в точке H. Докажем, что СH = BH. Соеденим вершину A с точкой H отрезком AH. Этот отрезок будет являться высотой, проведённой к основанию данного треугольника ( <AHB - вписанный угол по определению, притом он опирается на дугу, концы которой соединяет диаметр, т.е. на полуокружность, а значит, его градусная мера равна 90 гр., откуда отрезок AH - высота по определению). Но высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника также является и медианой, т.е. СH = BH, что и требовалось доказать.