Диагонали трапеции равны 12 и 16. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 10.

Надо построить треугольник, площадь которого равна площади трапеции. 

Пусть трапеция ABCD, AD II BC. Из С проводим прямую II диагонали BD до пересечения с продолжением AD. Пусть это точка Е. Ясно, что DBCE - параллелограмм.

Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция - это расстояние от С до AD (обозначим эту высоту СН), а АЕ = AD + BC. Очевидно, что площадь АСЕ равна площади ABCD ( = СН*(AD + BC)/2)

Стороны треугольника АВЕ это AC = 12; СЕ = BD = 16; AE =  АЕ = AD + BC = 2*10 = 20;

Не трудно убедится, что это треугольник, подобный "египетскому" - со сторонами (3,4,5). То есть это прямоугольный треугольник, и его площадь равна 16*12/2 = 96.

Ответ - площадь трапеции 96.

1)Проведу прямую через точку C трапеции ABCD,такую, что СE || BD. (здесь E - точка пересечения с продолжением основания трапеции AD). Поскольку СE || BD, а DE || BC - по определению трапеции, то DBCE - параллелограмм. а в нём противоположные стороны равны. Значит, CE = BD = 12.

2)Теперь можно рассмотреть ΔACE. Найду его стороны.CE = 12, AC = 16 - по условию. AE = AD + DE, а так как противоположные стороны в параллелограмме равны, то DE = BC. Следовательно,

AE = AD + BC.

Мы знаем, что средняя линия равна полосумме оснований.

Отсюда следует, что AD + DE = 10 * 2 = 20

Итак, AE = 20.

3)проведу высоту CH(пусть она будет обозначена как h). Далее можно заметить из того же треугольника, что 20² = 12² + 16², следовательно в этом треугольнике выполняется теорема Пифагора, откуда получаем, что он - прямоугольный. Видим, что высота h проведена к гипотенузе, значит, её можно расчитать по формуле h = ab/c, где a,b - катеты, c - гипотенуза.

Получаем, h = 16 * 12 / 20 = 9.6

4)Площадь трапеции равна произведению полосуммы оснований на высоту или произведению средней линии на высоту, значит

S = 10 * 9.6 = 96 - это площадь трапеции.