Трапеция с основаниями 9 и 16 см описана около окружности! Найти радиус окружности

В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если суммы её противоположных сторон равны, в этом случае высота является средним геометрическим оснований h = √b*c = √9*16 = √144 = 12 cм - это диаметр окружности.

R = d/2 = 12/2 = 6см

ладно, все равно надо очки набирать, так хоть с пользой.

На рисунке представлена ПРОИЗВОЛЬНАЯ описанная трапеция с заданными основаниями a и b. Я не стану отвелекаться на очевидные вещи вроде равенства углов, отмеченных одинаковыми буквами греческого алвавита, уж это то вы можете доказать (я надеюсь). Сразу запишу очевидную систему из 2 равенств, которая исчерпывает задачу.

a = r*(ctg(альфа) + ctg(бета));

b = r*(tg(альфа) + tg(бета));

Напоминаю, что альфа и бета - ПОЛОВИНЫ углов при большем основании а.

Для упрощения анализа я сделаю вот что - обозначу x = tg(альфа); y = tg(бета); и буду считать (если это понадобится, это не ограничивает общность), что x > y;

a/r = 1/x + 1/y;

b/r = x + y;

Ясно видно, что в системе 3 неизвестных, и больше условий взять не откуда. Однако кое-что еще можно сделать.

a/r = (x + y)/(x*y) = (b/r)/(x*y);

x*y = b/a;

Я запоминаю это соотношение и подставляю в  b/r = x + y; вот это y = b/(a*x);

Получается после некоторых простых действий

r = x*a*b/(a*x^2 + b);

Вот теперь можно эту формулу повертеть.

Во-первых, ПРЕДПОЛОЖИМ, что x = y, то есть углы при основании а равны (равнобедренная трапеция).

x^2 = b/a; подставляем в выражение для радиуса, получаем

r = корень(a*b)/2;

А что получится, если угол 2*альфа равен 90 градусов (прямоугольная трапеция)? В этом случае x = tg(45) = 1;

r = a*b/(a + b);

Оба эти случая очень легко решаются без применения тригонометрических соотношений, с использованием формул не сложнее теоремы Пифагора (хотя какая это тригонометрия, все элементарно), ответы буду такие же.

Задачи можно варьировать, как угодно. Например, выбирать разные соотношения между углами, сторонами и прочее. Но в конечном итоге всегда надо получить достаточно данных для применения формулы r = x*a*b/(a*x^2 + b);

Чтобы "не нарушать правила", подставляю 9 и 16 для случая равнобедренной трапеции, получу r = корень(9*16)/2 = 6;

В случае прямоугольной трапеции r = 144/25 = 6 - 6/25; что на 4% меньше :)))

Интересно было бы исследовать функцию r(x); но лень и спать пора после футбола :)))