Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена прямая, пересекающая сторону АВ. Расстояния от вершин А и В до этой прямой равны соответственно 1 см и 7 см. Найдите длину стороны треугольника АВС.

решение задачи находится в вложении...

Если бы все было так просто, как у предыдущего товарища...

Проще всего сделать так - пусть вершина С лежит в точке (0,0) системы координат на плоскости, прямая, про которую говорится в задаче, - это ось Х. Тогда вершины треугольника расположены в точках А (m,1) и B(n,-7); m и n - неизвестны (но они положительны - так мы выбрали оси). Длину стороны обозначим а.

m^2 = a^2 - 1^2;

n^2 = a^2 - 7^2; очевидно, что m > n;

(m - n)^2 = a^2 - (7 + 1)^2;

Надо найти а, поэтому из этой системы уравнений надо исключить m и n - получим уравнение только для а.

m - n = √(a^2 - 64);

m^2 - n^2 = 7^2 - 1^2 = 48;

m + n = 48/(√(a^2 - 64));

2*m = √(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64);

m^2 = a^2 - 1 = (1/4)*(√(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64))^2;

4*a^2 - 4 = a^2 - 64 + 2*48 + 48^2/(a^2 - 64);

(3*a^2 - 36)*(a^2 - 64) = 48^2;

3*a^4 - 36*a^2 - 3*64*a^2 + 36*64 = 48^2; удивительно, но свободные члены сокращаются (вообще-то это говорит в пользу существования технически более простого решения).

a^2 = 76;

a = √76;

Если записать это так a^2 = (4/3)*(7^2 + 1^2 +1*7) = (4/3)*(7^2 + 8^2 - 8*7) = 76; то общая конструкция решения несколько проясняется.

Я добавил чертеж (в левом верхнем углу вложения), и - дополнительно приложил альтернативное решение, хотя это нравится мне больше.