Острый угол ромба равен 30⁰. Радиус вписанного круга равен √5. Найдите площадь ромба.

Рассмотрим треугольник, который является четвертью ромба. 

Половина диагонали а = R/sin α/2, половина другой диагонали b=R/cos α/2.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей

S = 2a*2b/2 = 2ab = 2(R/sin α/2)(R/cos α/2)

используем формулу синуса двойного угла

Sin 2β = 2sinβ*cosβ.  sin α/2 * cos α/2 = (sin α)/2

S = 2R²/((sin α)/2) = 4R²/sin α = 4*(√5)²/sin 30°=8*5 = 40 

Использовано свойство окружности, вписанной  ромб; свойство катета против угла в 30 градусов; формула площади ромба через синус его угла.