Найдите площадь трапеции, если ее диагонали равны 3 и 5 см, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2

Пусть дана трапеция ABCD, BC||AD AC=3, BD=5

среднняя линия трапеции EF=2, по свойству средней линии трапеции

BC+AD=2*EF=2*2=4

Пусть диагонали пересекаются в точке О

Пусть BC=x см, тогда AD=4-x см.

Опустим высоты BK и CN (точки K и N лежат на основании AD), тогда KN=BC=x

Пусть AK=y, тогда DN=4-x-x-y=4-2x-y

AN=x+y

DK=4-x-y

Высоты трапеции равны, поэтому

5^2-(4-x-y)^2=3^2-(x+y)^2

Сделаем замену

x+y=t

25-(4-t)^2=9-t^2

25-16+8t-t^2=9-t^2

9+8t=9

8t=0

t=0

значит рисунок сделано неверно, и точка К лежит вне трапеции

Пусть AK=y, AD=4-x, KN=BC=x, KD=4-x+y=4-(x-y), AN=x-y

тогда используя равенство высот

5^2-(4-(x-y))^2=3^2-(x-y)^2

Сделаем замену

k=x-y

25-(4-k)^2=9-k^2

25-16+8k-k^2=9-k^2

9+8k=9

8k=0

k=0

а значит x=y

значит AN=0 и точки А и N совпдают, и диаональ АС является высотой трапеции

Площадь трапеции равна произведению средней линии трапции на ее высоту, поэтому

площадь данной трапеции равна EF*AC=2*3=6

ответ: 6