на основании bc треугольника abc найдите точку m так, чтобы окружности вписаные в треугольники abm и amc взаимно касались

Пусть в тр-ке АВС найдена такая точка М. Тогда есть две окружности. Одна с центром в точке О1, касается стороны АВ в точке E, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р1. Очевидно, что АР = АE, BE = BР1, MP1 = MP; Вторая окружность с центром О2 касается стороны АС в точке Т, отрезка АМ в точке Р и стороны ВС в точке Р2. АР = АТ, СТ = СР2, МР2 = МР.

Всё, что надо сообразить :) - что АЕ = АТ (оба эти отрезка равны АР).

Отметим на стороне АВ точку Е1 так, что ВЕ1 = ВЕ + МР, АЕ1 = АЕ - МР. Аналогично отметим точку Т1 на АС так, что  СТ1 = СТ + МР, АТ1 = АТ - МР.

Рассмотрим три точки М, Е1, Т1. Они обладают следующими свойствами:

АЕ1 = АТ1, ВЕ1 = ВМ, СМ = СТ1.

Нетрудно понять, что это - точки касания вписанной в АВС окружности.

Доказать это проще простого - рассмотрим систему

x + y = a;

x + z = b;

z + y = c;

решение (выписывать его нет нужды) такой системы единственно. Это - всё доказательство (ну, если кто не понял, точки касания вписанной окружности делят стороны именно так, а раз это можно сделать единственным способом, то ...). :)

Поэтому точка М - это точка касания стороны ВС вписанной окружностью.