В треугольнике ABC точка F принадлежит BC и BF=3, FC=2, точка E принадлежит AC и AE=6, EC=2,5. Отрезки AF и BE пересекаются в точке K. Найти отношение AK к KF.

BC = 5; AC = 8,5;

Надо провести прямую II ВС через точку Е до пересечения с АF в точке Р.

из подобия APE и AFC

PF/AF = EC/AC = 2,5/8,5 = 5/17; PF = AF*5/17;

PE = FC*AE/AC = 2*6/8,5 = 24/17;

из подобия PFK и BKF

PK/KF = PE/BF = (24/17)/3 = 8/17;

Получается вот что

PF = KF + PK = KF(1 + 8/17) = KF*25/17;

Отсюда

25*KF = 5*AF; KF = AF*/5; AK = AF - KF = AF*4/5; AK/KF = 4.

Примечание.

В первоначальном варианте решения содержалась ошибка, выделенная жирным шрифтом.

PF/AF = EC/AC = 2,5/8,5 = 4/17; PF = AF*4/17;

что повлеколо неверный ответ

25*KF = 4*AF; KF = AF*4/25; AK = AF - KF = AF*21/25; AK/KF = 21/4.

На ошибку мне указал Father. Я выражаю ему благодарность. 

Так же я приношу извинения автору задачи. Я надеюсь, что он тоже нашел эту ошибку при разборе решения.