Стороны равностороннего треугольника ABC продлены на отрезки AM, CP и BK так, что MA/AB=PC/AC=BK/BC=2/1. Докажите, что треугольник MPK - равносторонний.

У равностороннего треугольника все стороны и углы равны между собой, внешние углы треугольника АВС также равны между собой и равны 120°

Стороны треугольников МКВ, МАР и РСК также равны МВ=СК=АР=3*АВ,

МА=КВ=СР=2*АВ - следовательно ΔМКВ=ΔМАР=ΔРСК.

У равных треугольников соответствующие стороны равны, значит

МР=РК=МК. Что и требовалось доказать.

Я, конечно, понимаю, что требуется "умное" решение, но всё-таки... :)))

При повороте плоскости на 60 градусов вокруг центра треугольника АВС вся фигура (вместе с продолжениями) перейдет в себя (ну, если повернуть по часовой стрелке, то А прейдет в В, М в К, В в С, К в Р, С в А, Р в М... а можно и против часовой повернуть). Поэтому все расстояния МК=МР=КР равны (еще раз - существует такое преобразование без сжатия, при котором эти отрезки совпадают, поэтому они равны).  Это полностью исчерпывает доказательство.