У прямокутнику АВСD бісектриси кутів А та D перетинаються у точці К; точки М та Р точки перетину цих бісектрис зі сторною ВС (мал). Відомо що АК=10, МР=4√2. Обчисліть площу заданогог прямокутника?

В прямоугольнике АВСD биссектрисы углов А и D пересекаются в точке К; точки М и Р - точки пересечения этих биссектрис со стороной ВС. Известно, что АК = 10, МР = 4 √ 2. Вычислите площадь заданого прямоугольника?

Гипотенуза равнобедренного тр-ка АКD АD=10√2

высота этого тр-ка в 2 раза меньше 5√2

Из подобия тр-ков АКD и PMK определим высоту маленького тр-ка

5√2*4√2/10√2 = 2√2

Высота прямоугольника АВ=5√2+2√2=7√2

Ширина АD=10√2

Площадь прямоугольника S=AD*AB=10√2*7√2 = 140

Биссектрисы прямых углов АК и ДК со стороной АД образуют прямоугольный треугольник с прямым углом АКД. В этом прямоугольном равнобедренном треугольнике известен катет АК = ДК = 10, тогда АД = АК/cos 45° = 10/(1/√2) = 10√2.

Треугольники АКД и МКР подобны как прямоугольные равнобедренные треугольники. Стороны их соответственно пропорциональны и АД:МР = АК:КМ

или в цифрах6 10√2: 4√2 = 10:КМ, откуда КМ = 4.

Высоты Н₁ и Н₂ треугольников АКД и МКР составляют в сумме сторону АВ прямоугольника. найдём эти высоты.

Н₁ = АВ·cos45° = 10·0.5√2 = 5√2

Н₂ = КМ·cos45° = 4·0.5√2 = 2√2

Итого АВ = Н₁ + Н₂ = 5√2 + 2√2 = 7√2

Площадь прямоугольника АВСД равна

S = AB·АД = 7√2 · 10√2 = 70·2 = 140

Ответ: S = 140