У треугольника ABC сторона AC больше чем сторона BС. Медиана CD делит угол C на два угла. Какой из них больше и почему?

Для простоты записи обозначим углы, на которые медиана разделила угол С так:

уг. ДСА = уг.1, уг.ДСВ =уг.2

Также обозначим уг.ВДС = уг.α, тогда уг.АДС = 180° - α и АД=ВД =а.

Рассмотрим тр-к ВДС.

По теореме синусов: sinα : BC = sin уг.1 : а, откуда

sin уг.1 = sinα · а : BC

Рассмотрим тр-к АДС.

По теореме синусов: sin(180°-α) : АC = sin уг.2 : а,

или sinα : АC = sin уг.2 : а, откуда

sin уг.2 = sinα · а : АC

Сравним синусы углов 1 т 2. Поскольку по условию АС > ВС, то sin уг.2 < sin уг.1

и, следовательно,

уг.2 < уг.1

Ответ: угол АСД (уг.2), примыкающий к стороне АС меньше угла ВСД (уг.1), примыкающему к стороне ВС

Известно, что медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Поэтому S тр-ка BCD = S тр-ка ACD . Площадь треугольника можно определить по формуле: половина произведения сторон на синус угла между ними. Значит:  (1/2) BC*CD*sin BCD = (1/2) AC*CD*sin ACD. Делим обе части на (1/2)*CD^

BC*sin BCD = AC* sin ACD. Делим обе части на sin ACD*BC^

sin BCD/sin ACD = AC/BC.  Так как АС>BC, то и sin BCD > sin ACD. Оба эти угла острые, т.е. значение синуса тем больше, чем больше угол. Отсюда угол BCD> угла ACD