Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Высота, проведенная к меньшей стороне треугольника, по длине самая большая, и наоборот, к большей стороне - самая короткая. Пусть меньшая сторона будет b, а высота к ней =6  вторая сторона а, и высота к ней 4 см третья сторона с, и высота к ней 3 см.  Запишем площадь треугольника по классической формуле S=ha:2 для каждой стороны: S=4a:2 S=3c:2 S=6b:2 Площадь треугольника, найденная любым способом, одна и та же.  Поэтому  3c:2=6b:2 с=2b 4a:2=6b:2 а=1,5bВычислим площадь треугольника по формуле Герона, выразив длину сторон через b. Полупериметр  р=(а+b+с):2=(b+1,5b+2b):2=4,5b:2=2,25b  S=√(2,25b*0,75b*1,25b*0,25b)=√0,52734375b⁴ S=0,72618b² 0,72618b²=6b:20,72618b=3 b=3:0,72618=4,1312 S=6b:2= 6*4,1312:2=12,3936 см²  Попутно: с=2b=8,2624 а=1,5b=6,1968 Вычислив площадь по формуле S=ha:2 для  каждой стороны с данной в условии высотой, получим равные значения площади.