Дан остроугольный треугольник АВС
на АС опущена высота ВН
из точки Н на стороны АВ и ВС опущены перпендикуляры соответственно НК и НМ
Доказать, что треугольник ВКМ подобен треугольнику АВС

Прямоугольные треугольники ВКН и ВМН имеют общую гипотенузу , то есть они вписаны в одну и ту же окружность с радиусом равным половине гипотенузы. Рассмотрим углы в четырёхугольнике ВКНМ вписанном в окружность. Углы  ВКМ  и ВНМ  равны как опирающиеся на одну дугу. Но угол ВНМ равен углу ВСН. Это следует из подобия прямоугольных треугольников ВСН и ВНМ. То есть угол ВКМ равен углу ВСА. Аналогично доказываем равенство углов ВМК и ВАС. Отсюда – треугольники ВКМ и АВС подобны по двум углам.