прямая , параллельная основаниям трапеции АВСD, пересекает ее боковые стороныАВ и СD в точках Е и F соответственно. найдите длину отрезка EF , если АD= 42, BC=14, CF: DF=4:3

трапеция АВСD, ВС=14, АD=42, СF/DF=4/3=4х/3х, СF+DF=3х+4х=7х, Проведем ВН параллельную СD, получается НВСD - паралелограмм, ВН и ЕF пересекаются в точке O. ВС=OF=НD=14, ВН=СD=7х, ВO=СF=4х, АН=АD-НD=42-14=28,Δ АВН подобен Δ ЕВO по двум равным углам (угол АВН - общий, угол АНВ = угол ЕOВ как соответственный), ВO/ВН=ЕO/АН, 4х/7х=ЕO/28, ЕO=4х*28/7х=16, ЕF=ЕO+OF=16+14=30

Вариант решения.В данной трапеции ВЕ:ЕА  равно 4:3 ( по  теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на секущих прямых пропорциональные отрезки),причем  трапеция диагональю BD и прямой EF поделена на подобные треугольники: ∆ BCD ~ ∆ PFD и△ BAD ~ △ BEP, так как  углы при основаниях этих треугольников равны как углы при параллельных прямых и секущей, а углы при вершинах - общие (см. рисунок). Пусть коэффициент отношения отрезков боковой стороны СD равен х. Тогда в ∆ BCD  и ∆ PFD CD=7xCD:FD=BC:PF7х:3х=14:PFPF=42:7=6 cмВ ∆ BAD и ∆ BEP пусть коэффициент отношения отрезков АВ равен уВА:ВЕ=42:EP 7у:4у=42:EP 4*42=7 EPEP=4*6=24EF=EP+PE=24+6=30 (единиц длины)