ABCD-выпуклый 4х-угольник, точки M и N- середины противолежащих сторон AB и CD соответственно. Известно, что MN=1/2(BC+AD). Следует ли из этого, что BC||AD?

Я самоудовлетворен

Это задание для ЗФТШ повышенной сложности)

:) И действительно интересное задание. Я сначало подумал что утверждюение неверно. И принялся искать контр пример. Но потом подумал : А что если оно справедливое? И тут и нагрянуло доказательство :)

Если еще будут интересные задачки. Буду рад помочь. Выкладывайте.

Я уже выложила одну новую. Там доказать смогла, а найти углы не могу( вчера целый вечер промучилась, ничего(

Предположим что:m=(a+b)/2 ,но a не  параллельно bСделаем вспомогательные построения:Проведем  сторону  BQ=x параллельно m.И  прямую AW=y параллельно m (она  же параллельна x)По  теореме Фалеса  тк  AM=MB,то QN=NW=LТк  СN=ND,то   CQ=WD=mНа  продолжении AW отложим  отрезок равный  x.Далее  из соответственных и вертикальных угол выходит что углыDWZ и  BQC  равны. То  треугольники BQC и WDZ равны  по 2 сторонам  и углу между ними. То  DZ=BC=a.То  по неравенству треугольника AZD:  (a+b)>(x+y)Тк ABQW-трапеция,а m -ее средняя  линия,то2m=(x+y).  По  предположению:    2m=(a+b)То   (a+b)=(x+y)Что  противоречит  неравенству : (a+b)>(x+y)То  есть  мы пришли к противоречию.Значит BC параллельно AD.Это  решение я назвал (Офигенный   кораблик)