На гипотенузе ab прямоугольного треугольника ABC(угол С=90°) во вне построен квадрат, диагонали которого пересекаются в точке O. Прямая CO пересекает гипотенузу AB в точке K, OK=(5*корень из 5)/2 и CK=(3*корень из 5)/2. Найти стороны треугольника ABC.

Cамое интересное что для нахождения гипотенузы достаточно найти (a+b)^2-2ab=160-30*2=100

даже не нужно решать квадратное уравнение

Сумма углов O+C=180  градусов  (диагонали   квадрата перпендикулярны)То   около 4   угольника ABCO  можно описать  окружность,таким   образом углы  OCA=ABO,как  опирающиеся на 1   дугу.OCA=45 тк   диагональ квадрата делит его   углы  по 45.Таким образом BO-бессектриса угла C. По  свойству бессектрисы даны доли отношений.(ax ,bx)А по   свойству хорд получим: 3sqrt(5)/2*5sqrt(5)/2=ax*bxx^2=75/4abПлощадь треугольника ABC  равна сумме площадей треугольников бьющихся бессектрисой.1/2ab=1/2a*3sqrt(5)/2 *sin45+1/2b*3sqrt(5)/2 *b*sin45Откуда ab=3sqrt(10)/4 *(a+b)Ну  и наконец по теореме пифагора:a^2+b^2=(ax+bx)^2=(a+b)^2*x^2=(a+b)^2*75/4abто есть нужно решить систему:ab=3sqrt(10)/4*(a+b)(a^2+b^2)*4ab=75(a+b)^2Ну конечно эту систему можно решить  но я этого  делать явно не хочу.Существует   такая теорема -теорема Птолимея,которая  гласит что если 4 угольник   вписан в окружность,то  сумма произведений  противолежащих сторон равна произведению его диагоналей.То  тк полудиагональ  равна c*sqrt(2)/2То  выходит что:  a*c*sqrt(2)/2 +b*c*sqrt(2)/2=c*4sqrt(5)a+b=4sqrt(10)Ну  и еще 1 уравнениеab=3sqrt(10)/4 *(a+b)ab=3sqrt(10)*4sqrt(10)/4=30a+b=4sqrt(10)По  теореме обратной теореме виета a и b корни уравненияx^2-4sqrt(10)*x+30=0D=160-120=40=(2sqrt(10))^2x=(4sqrt(10)+-2sqrt(10))/2a=3sqrt(10)b=sqrt(10)c=sqrt(90+10)=10!!!Может  в условии нужно искать гипотенузу а не  стороны треугольника :)Ответ:3sqrt(10),sqrt(10),10