В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а  большее основание равно диагонали. Вычислите углы трапеции.

Дано: ABCD - трапеция, BC║AD, AB=BC=CD, AC - диагональ, AC=AD Найти: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D Решение: Обозначения: ∠1 = ∠CDA, ∠2 = ACD, ∠3 = ∠BAC, ∠4 = CAD, ∠5 = ∠BCA 1. Рассмотрим ΔACD: AC=AD (по усл)⇒ ΔACD - равнобедренный ⇒ ∠2 = ∠1 2. Рассмотрим ΔABC: AB=BC (по усл)⇒ ΔABC - равнобедренный ⇒ ∠3 = ∠5 3. Рассмотрим ∠5 и ∠4, т.к. BC║AD (по усл), то ∠5 и ∠4 внутренние накрест лежащие углы ⇒ ∠5 = ∠4 и, исходя из предыдущего пункта 2, получаем:  ∠3 = ∠5 = ∠4 4. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°, т.е. ∠C + ∠D = 180° ⇒ ∠5 + ∠2 + ∠1 = 180°, но из пункта 1: ∠2 = ∠1, поэтому запишем так: ∠5 + 2 *∠2 = 180° 5. С другой стороны, т.к. ABCD - равнобедренная, то ∠A = ∠D, т.е. ∠3 + ∠4 = ∠1, но, исходя из пункта 1:  ∠2 = ∠1, получаем: ∠3 + ∠4 = ∠2. А, исходя из пункта 3: ∠3 = ∠5 = ∠4 ⇒ 2 * ∠5 = ∠2  6. Подставим полученное в пункте 5 значение ∠2 в выражение из пункта 4:∠5 + 2 *∠2 = 180°∠5 + 2 *2 * ∠5 = 180° 5 * ∠5 = 180° ⇒ ∠5 = 180°/5 = 36° 7. Исходя из пункта 3: ∠3 = ∠5 = ∠4 ⇒ ∠3 = ∠5 = ∠4 = 36°, т.е. ∠A = ∠D = ∠3 + ∠4 = 36° + 36° = 72° 8. ∠B = ∠C = ∠5 + ∠2 = 36°+72° = 108°

Ответ: ∠A = ∠D = 72°, ∠B = ∠C = 108°