Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, ИСПОЛЬЗУЯ ВЕКТОРЫ
Буду благодарна.

пусть О точка пересечения медиан AM, BN, CKи пусть AO = k*AM (если докажем, что k =2/3, то это и будет означать, что AO = 2 OM)поскольку для каждой медианы те же рассуждения можно провести, то соотношение везде одинаково. (кроме того, OM = (1-k)AM, OK = (1-k)CK)Запишем равенство векторов: AO+OK= AK = (AB)/2kAM +(1-k)CK = AB/2но AM = (AB+AC)/2, а CK = (CA+CB)/2подставим:k*AB/2 + k*AC/2 +(1-k)*CA/2 + (1-k)CB/2= AB/2 (умножим равенство на 2 и раскроем скобки)kAB + kAC +CA - kCA +CB -kCB = ABвоспользуемся тем, что CB = AB-ACkAB + kAC + CA -kCA +AB-AC -kAB +kAC = ABAB сократится, останетсяkAC + CA -kCA-AC +kAC = 0. AC ненулевой вектор, значит коэффициент должен равняться 0 (заменим CA на (-AC)), получим3kAC -2 AC = 0то есть, 3k =2, k =2/3