В параллелограмме со сторонами а и b и углом альфа проведены биссектрисы всех внутренних углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, BAD = ( < 90o), AB = a, BC = b и b > a. Тогда

BMA = MAD = MAB = .

Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный и BM = AB = a. Поэтому MC = b - a.

Расстояние между проведённой биссектрисой и биссектрисой угла BCD равно

MC sin = (b - a)sin.

Аналогично найдем, что расстояние между биссектрисами углов B и D равно (b - a)cos.

Четырёхугольник, ограниченный указанными биссектрисами, — прямоугольник со сторонами, равными

(b - a)sin, (b - a)cos.

Следовательно, его площадь равна

(b - a)sin . (b - a)cos = (a - b)2sin.

 

Ответ

 

(a - b)2sin.