Две окружности касаются внутренне в точке b, ab - диаметр большей окружности. Через точку A проведены две хорды, которые касаются меньшей окружности. Угол между хордами равен 60. Найдите длины хорд, если радиус меньшей окружности равен r.

Обозначим хорды АС и АК. Они - касательные, проведенные к меньшей окружности. 

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. 

⇒. ∠САВ=∠КАВ=60°:2=30°

Проведем СВ и КВ. 

∠АСВ=∠АКВ=90° - опираются на диаметр АВ. 

∆ АСВ=∆ АКВ - по гипотенузе и острому углу

⇒ АС=АК, 

Проведем радиус ОМ в точку касания окружности с АС. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. ⇒

∠АМО=90° 

ОМ=r и противолежит углу 30°. ⇒ гипотенуза ОА=2r. 

Тогда АВ=3r ⇒