Пожалуйста! Очень нужно!

(Таблица 8.4 Свойства параллелограмма)

Краткие решения:

1) AB = CD (св-во параллелограмма), ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (определение прямоугольника). ∠ABN = ∠MCD = 45° (половины углов 90°). Значит, треугольники ABN, MCD – прямоугольные равнобедренные с равными катетами, поэтому эти треугольники равны и BN = CM

2) ∠B = 90°, из треугольника ABC: ∠ACB = 180° - 90° - 55° = 35°. BO = OC (св-во прямоугольника), значит, ∠CBO = ∠ACB = 35°, ∠COD = ∠CBO + ∠ACB = 70° (внешний угол к треугольнику BOC).

3) AO = OB, ∠OAB = ∠OCD = 60° (накрест лежащие углы), тогда треугольник AOB – равносторонний, BE – медиана. AO = 2OE = 8 (определение медианы), AC = 2AO = 16 (св-во параллелограмма).

4) ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, тогда 4 маленьких треугольника равны по двум сторонам и углу между ними, откуда A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁, A₁B₁C₁D₁ – ромб.

5) AB = BC = CD = DA (определение ромба), ΔABD = ΔBCD (две равные стороны и общая диагональ BD), ∠C = ∠A = 50° (в равных треугольниках). Пусть ∠BDC = x, ∠CBD = x (равнобедренный треугольник), ∠BDC + ∠CBD + ∠C = 180°, x = (180° - 50°)/2 = 65°

6) ∠CDA = 180° - 75° = 105°; ∠ABC = ∠CDA = 105° (св-во параллелограмма)

7) обратная задача к задаче 5), ∠BAD = 180° - 2 * 55° = 70°.

8) ∠BDC = 90° - 20° = 70° (углы в прямоугольном треугольнике BDE), дальше применяем задачу 7). ∠BAD = 180° - 2 * 70° = 40°

9) Найдём площадь ромба двумя способами: S = BM * AD = BN * CD. AD = CD, поэтому BM = BN.

10) Аналогично 9), S = BE * AD = DF * AB и AD = AB.

11) BO = OD (св-во параллелограмма), ∠BOC = ∠COD = 90° (св-во ромба), OC – общая сторона треугольников BOC и COD; тогда эти треугольники равны, а тогда равны и высоты в этих треугольниках.

12) Обозначим точку пересечения диагоналей O; BO = OD и KO ⊥ OD. KO – медиана и высота, поэтому треугольник KBD равнобедренный, KB = KD