Прямые a и b пересекаются. Прямые a и c параллельны. Могут ли прямые b и c быть скрещивающимися?

Могут, если прямая с  не лежит в плоскости, содержащей пересекающиеся прямые а и b . 

Через параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну. Плоскость, содержащая а и с, пересечет плоскость, содержащую пересекающиеся а и b. 

Тогда прямые с и  b не параллельны и не имеют общих точек – они скрещивающиеся.