При каких значениях m треугольник, вершины которого расположены в точках А(1; 3), В(2; -1), С(4; m), является равнобед­ренным? 

Ответ:

        m = 3 ± 2√2

        m = - 1 ± √13

        m = 13/8

Объяснение:

Расстояние между точками:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Найдем длины сторон треугольника:

AB = √((2 - 1)² + (-1 - 3)²) = √(1 + 16) = √17

AC = √((4 - 1)² + (m - 3)²) = √(9 + (m - 3)²)

BC = √((4 - 2)² + (m + 1)²) = √(4 + (m + 1)²)

Треугольник равнобедренный, если две стороны его равны.

1. АВ = АС

√(9 + (m - 3)²) = √17

9 + (m - 3)² = 17

(m - 3)³ = 8

m - 3 = ±2√2  

m = 3 ± 2√2

2. AB = BC

√(4 + (m + 1)²) = √17

4 + (m + 1)² = 17

(m + 1)² = 13

m + 1 = ± √13

m = - 1 ± √13

3. AC = BC

√(9 + (m - 3)²) = √(4 + (m + 1)²)

9 + (m - 3)² = 4 + (m + 1)²

m² - 6m + 9 + 5 = m² + 2m + 1

8m = 13

m = 13/8