стороны треугольника равны 13,14 и 15.Найдите радиус окружности, центр которой находится на средней по длине стороне треугольника и которая касается двух других сторон.
 

Понятно, что центр окружности должен лежать на биссектрисе угла (вспоминая, что биссектриса - ГМТ точек, равноудаленных от сторон угла). Тогда можно найти длину биссектрисы, угол и затем получить длину радиуса как катет в прямоугольном треугольнике.Поступим иначе. Отразим треугольник относительно AC. Искомая окружность будет вписана в получившийся дельтоид, следовательно, будет связь между радиусом окружности, полупериметром дельтоида и площадью дельтоида: Sд = pд * rПлощадь дельтоида равна удвоенной площади треугольника, которую можно найти по формуле Герона (S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = sqrt(21 * 6 * 7 * 8) = 84). А полупериметр дельтоида равен 13 + 15 = 28. Тогдаr = 2 * 84 / 28 = 6