Сфера, центр которой лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, касается боковых граней пирамиды, в точках пересечения биссектрис боковых граней. Найдите сторону основания пирамиды, если радиус окружности, вписанной в боковую грань пирамиды, равен 1/ корень из 7

То есть - в центрах вписанных окружностей. Поскольку пирамида правильная, то отсюда и следует, что и точки вписанных окружностей находятся на одинаковых расстояниях от центра основания. Вы можете это "строго" доказать, если возьмете произвольную точку на любой из таких окружностей и соедините с центром основания и центром этой окружности. Получится треугольник с ПОСТОЯННЫМИ длинами сторон (то есть не зависящими от положения точки). Это доказано.

Но на самом деле доказано нечто большее. Дело в том, что середины сторон основания

тоже лежат на этой сфере (которой принадлежат все три вписанные в боковые грани окружности). Поэтому и окружность, проходящая через эти три точки, тоже принадлежит этой сфере (то есть все точки этой окружности лежат на сфере...). Но эта окружность - вписанная в основание. То есть получилось, что все точки окружностей, вписанных во все грани пирамиды, лежат на одной сфере. Ясно, что эта сфера касается всех ребер пирамиды.

То, что такая сфера существует, и то, что её центр лежит в плоскости основания, сразу позволяет найти соотношения между ребрами и другими размерами - радиусами, высотой и так далее. То есть найти все характеристики такой пирамиды. Именно это я и проделал.

Спасибо

Вот я напишу решение, не понравится, можете смело ставить нарушение.Точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. Следовательно, ВСЕ точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. Включая, разумеется, и середины ребер основания. То есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание. Это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. Вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. Причем сечение основанием является центральным.На самом деле задача уже решена, и дальше я так коротко.Пусть пирамида ABCS, O - центр основания, AC касается сферы в точке B1, AS - в точке A2. Тогда из сказанного выше следует, что треугольники AA2O и AB1O равны (по трем сторонам). То есть ∠SAO = 30°; Пусть AC = a; AS = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2; d = a*2/3;AB1 = a/2; => SB1 = a*√7/6; Отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и ПОЛУпериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2;Может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.