ABCD-параллелограмм; на прямой BD отмечены точки M и P так, что BM=DP=BD. Докажите, что AMCP-параллелограмм.

  Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны. Прямая ВD  по отношению к ним - секущая.

  Рассмотрим ∆ АМВ и ∆ CPD. Они равны по первому признаку равенства треугольников: МВ=PD по условию, АВ=СD - противоположные стороны параллелограмма, ∠ МВА=∠СDP - внешние накрестлежащие.  Аналогично доказывается равенство треугольников ВМС и ADP.  ⇒АМ=СР и СМ=АР.

  Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны - параллелограмм, ч.т.д.