Четырехугольник KLMN вписан в окружность, причем KL=4см, ML=6см, угол KLM=120 градусов, а диагональ LN является одновременно биссектрисой угла KLM. Найдите длину диагонали LN.

Сделаем рисунок. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°Т.к. угол КLМ =120°, угол МNК=60°LN - биссектриса.Углы МLN=КLN=60°В окружности равные  вписанные углы опираются на равные дуги и на равные хорды.Хорды МN=КN. Треугольник КNМ - равнобедренный с равными углами при стороне КМ.Из   суммы углов треугольника углы при КМ равны по 60°⇒ треугольник КМN - равносторонний.По т.косинусов найдем сторону КМ из треугольника КLМ.КМ²=4²+6²-2*4*6*cos (120°)KM²=76Из треугольника МLN по т.косинусов выразим сторону MNМN²=LМ²+LN²-2*6*LN*cos(60°)76=36+LN²-6*LNLN²-6*LN-40=0Решив квадратное уравнение (вычисления сделаете сами), LN=10Второй корень отрицательный и не подходит.