1)Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2(сosА + cosБ) = 3+2cos(А+Б).
Найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.

A + B = 180° – C,cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.Данное равенство переписывается так:cos A + cos B + cos C = ³⁄₂.       (1)Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.Для произвольного треугольникаcos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B),       (2)cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C.       (3)Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, чтоcos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.Следовательно,cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C == –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.Значит, для любого треугольникаcos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.