Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В₁С₁, АD.
б) Найдите угол между плоскостью А₁ВD и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В₁С₁, АD.

Построение сечения. 1. Проводим пряную ЕF до пересечения с продолжениями отрезков СВ (F1) и СD (Е1). ЕF -линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания. 2. Проводим прямую НF1, пересечение этой прямой с ребром ВВ1 -точка G. GH - линия пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С. 3. Соединим точки F и G. FG  - линия пересечения секущей плоскости и грани АА1В1В. 4. Плоскости АВСD и А1В1С1D1 параллельны, значат линия НК пересечения секущей плоскости и грани А1В1С1D1 будет проходить через точку Н параллельно прямой ЕF. 5. Проводим прямую КЕ1, пересечение этой прямой с ребром DD1 -точка Р. КР -линия пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. 6. Соединим точки Р и Е. РЕ -линия пересечения секущей плоскости и грани АА1D1D.Нахождение угла.Угол между плоскостью сечения EFGHKP и плоскостью А1ВD -угол A1RQ = α, образованный пересечением указанных плоскостей плоскостью, перпендикулярной к обеим плоскостям, то есть перпендикулярной к линии пересечения МN данных двух плоскостей. Заметим, что этот угол равен углу А1ОС1, так как QL параллельна С10(так как LО=С1Q, потому что EF - средняя линия прямоугольного треугольника АЕF и АL=LO=C1Q). Половина диагонали основания (квадрата со стороной а) СО равна а*√2/2.А тангенс угла С10С равен СС1/СО = а*2/а*√2 = √2. По таблице тангенсов угол С10С  ≈ 55°. Значит и симметричный с ним угол А1ОА =55°, их сумма равна 110°, а дополняющий эти два угла до развернутого искомый угол равен 180°-110°=70°.  Ответ: угол между плоскостями FGНКРЕ и A1BD ≈ 70°. Ответ в приложенном рисунке.