Дан квадрат ABCD. На отрезках AC и BC взяты точки M и N, не совпадающие с концами отрезков, соответственно, так, что MN=MD. Найдите величину угла ∠MDN. 

Нарисуем квадрат АВСD.Проведем диагональ АС.Главное здесь - доказательно построить  равные NМ и МD.Для этого  с помощью циркуля из D радиусом, меньшим СD, на АС отметим точку М.Из точки М тем же радиусом на ВС отметим точку N( Заметим, что МD не может быть больше или  равно  СD. В противном случае равенства МN и МD быть не может, если точка N будет лежать именно на отрезке  ВС, а не на прямой ВС, что не одно и то же, как и не на стороне или прямой АВ, хотя нужный угол будет той же величины: см. рисунок).Из точки М, как из вершины, построим квадрат МКСЕ.Соединим N и М, М и D.КМ=МЕ как стороны квадрата. МN=МD по построению, следовательно, прямоугольные треугольники КМN и МЕD равны,  и угол КМN=углу ЕМDТак как угол КМЕ  равен 90°, то, если от него с одной стороны при вершине М отнять, а с другой прибавить по равному углу, получим угол, равный 90°Угол МND - прямой МN=МDПрямоугольный треугольник NМD - равнобедренный, углы при NД равны 45°.Ответ: Угол МDN=45°—————Наверняка существует и другой вариант решения, возможно, даже не один, но ответ будет таким же. -----bzs@

Я все-таки рискну выложить решение через векторы. Может, кому-нибудь понадобится такое решение.Попробуем свести задачу к нахождению угла между векторами NM и ND. Поместим начало координат в точку А. Тогда координаты точки D нам известны: D(K;0), где К - сторона данного нам квадрата. Координаты точки: M(Хо;Yо), причем эта точка лежит на диагонали квадрата и поэтому Yo=Xo. Запишем так: М(Хо;Хо). Точки N и D - не что иное, как точки окружности радиуса R=MD=MN. Чтобы найти координаты точки N, надо найти точку пересечения окружности (с центром в точке М и радиусом MN=MD) и прямой ВС, параллельной координатной прямой Х. Уравнение этой прямой: Y=K, где К - сторона нашего квадрата. Итак, зная координаты трех точек: M, N и D, мы найдем все необходимое для вычисления угла между векторами NM и ND, то есть искомого угла α.Отметим, что <MND=<MDN, так как треугольник MND равнобедренный (MN=MD).Приступим к вычислениям.Уравнение окружности с центром М(Хо;Хо) и радиусом R:(Х-Хо)²+(Y-Хо)²=R², где R = |NM| (радиус равен модулю вектора MN). Чтобы найти точку пересечения этой окружности с прямой Y=K, надо подставить значение Y в уравнение окружности и тогда имеем: (Х-Хо)²+(К-Хо)²=|NM|². Но модуль вектора NM равен модулю вектора MD (радиусы одной окружности). |MD| = √((K-Xo)²+Xo²), то есть R²=K²-2K*Xo+Xo²+Xo²=(K-Xo)²+Xo².Подставим это значение в уравнение нашей точки пересечения:(Х-Хо)²+(К-Хо)²=(K-Xo)²+Xo² и получим:  Х²-2Хо*Х+Хо²-Хо²=0 или Х(Х-2Хо) =0. У нас есть два корня, один из которых (Х=0) нас не удовлетворяет по условию задачи. Итак, Точка N имеет координаты: N(2*Xo;K). Теперь у нас есть координаты всех трех точек:М(Хо;Хо), N(2*Xo;K) и D(К;0). Вычислим координаты векторов:NM{Xo-2Xo;Xo-K} или NM{-Xo;Xo-K},  ND{K-2Xo;-K}.Их модули: |NM| = √(Xo²+(Xo-K)²) и |ND| = √((K-Xo)²+K²).Косинус угла между ними равен отношению их векторного произведения на произведение их модулей:Cosα = (NM*ND)/(|NM|*|ND|). Подставим известные величины и получим: Cosα = [(-Хо)*(K-2Xo) +(Xo-K)*(-K)]/*[√(Xo²+(Xo-K)²)*√((K-Xo)²+K²)].Раскроем скобки и приведем подобные:Cosα = (2Хо²-КХо+К²-КХо)/[√(2Хо²-КХо+К²-КХо)*√(4Хо-4КХо+2К²)].Cosα = 2Хо²-2КХо+К²)/[√(2Хо²-2КХо+К²)*√2*√(2Хо-2КХо+К²)].Cosα = 1/√2 = √2/2. Тогда угол α = 45°.Итак, мы доказали, что угол α не зависит от нахождения точки М (в пределах от М(0;0) до М(К/2;К/2), так как при нахождении точки М выше точки пересечения диагоналей задача не имеет смысла, поскольку тогда не будет существовать точка N) и этот угол равен 45°.