Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC, точка D - на стороне AC, прямые BD и CK пересекаются в точке O. Площади треугольников OKB, OBC, OCD соответственно равны 10, 45, 54. Найти площадь треугольника ABC.

В решении используется свойство треугольников, имеющих общую высоту: площади треугольников, имеющих общую высоту относятся как основания, к которым проведена эта высота.Сами общие высоты на рисунках не проведены.ΔВОК и ΔВОС имеют общую высоту (из вершины В):Sbok : Sboc = OK : OC = 10 : 45 = 2 : 9ΔСОВ и ΔCOD имеют общую высоту (из вершины С):Scob : Scod = BO : OD = 45 : 54 = 5 : 6Проведем ВЕ║АС до пересечения с прямой СК..ΔЕВО подобен ΔСВО по двум углам:ЕО : ОС = ВО : ODEO = (OC · BO) / ODEO = (5x · 9y) / (6x ) = 45y / 6 = 15y /2EK = EO - KO = 15y / 2 - 2y = 11y / 2ΔEBK подобен ΔСАК по двум углам:ВК : КА = ЕК : КС = (11y/2) : (11y) = 1 : 2ΔCBK  и ΔСАК имеют общую высоту (из вершины С):Scbk : Scak = BK : KA = 1 : 2Scak = 2 · Scbk = 2 · 55 = 110Sabc = Scbk + Scak = 55 + 110 = 165